黄金分割比率

　

黄金分割比率は、以下の方法で導出される。

下図のように、まず定規とコンパスで正方形ＡＢＣＤを描く。次に、その１辺ＣＤの中点ＥからＢまでを直線で結び、これを半径とした弧を描く。この弧と辺ＣＤの延長線との交点をＦとすると、正方形の１辺ＣＤとＤＦとの比率が黄金分割比率である。

正方形の１辺ＢＣの長さをＰとすると、
ＢＥの長さは、ＢＣとＣＥの長さから、ピタゴラスの定理により、　となる。

　

ＢＥとＥＦの長さは等しいから、
ＤＦの長さは、このＢＥの長さとＣＤの長さの１／２との合計ということになる。

したがって、ＤＦの長さは、　となる。

この が、真の意味での黄金分割比率であり、計算すると　1.6180339887…と続く数字となる。
小数点以下４ケタ目が０になるため、通常は実用性の観点から 1.618が使われているに過ぎない。

黄金分割比率をＧとすると、次の２つの特徴がある。

(1)　 （黄金分割比率を２乗しても１増えるだけで小数点以下は不変）

(2) 　（黄金分割比率の逆数は、黄金分割比率から１を減じたものと等しく、小数点以下は不変）

フィボナッチ数列とこの黄金分割比率の関係は、

「フィボナッチ数列において、各数値をその１つ手前の数値で割った結果は、数列が後になるほど、黄金分割比率に限りなく近づいていく。」

というのがより正確な表現である。この関係さえあれば、フィボナッチ数列の数値に関する比率の特徴は、先述の黄金分割比率の２つの特徴から、すべて説明できるのである。